služby životopis publikácie kontakt Value-at-Risk štatistický navigátor EN
služby životopis publikácie kontakt Value-at-Risk štatistický navigátor EN
Na opísanie vzťahu medzi dvoma číselnými premennými sa používajú:
b) X-Y graf
Bivariačný histogram predstavuje rozšírenie histogramu a slúži na znázornenie rozdelenia početnosti dvoch premenných. Graf na vertikálnej osi zobrazuje početnosti kombinácie hodnôt premenných v intervaloch ich hodnôt uvedených na osi x a osi y.
Obr. 1 Rozdelenie početnosti podľa výšky a hmotnosti
X-Y graf (Scatter Plot) predstavuje základný graf na znázornenie vzťahu medzi dvoma číselnými premennými. Bod na grafe predstavuje objekt, ktorého hodnoty premenných sú dané príslušnými súradnicami na osiach x a y. V prípade veľkého počtu pozorovaní s totožnými hodnotami X a Y sa graf stáva nevhodným, pretože jeden bod nepredstavuje jedno pozorovanie ale viacero pozorovaní, ktoré sú "na sebe poukladané".
Obr. 2 Vzťah medzi výškou a hmotnosťou
Korelačný koeficient meria silu štatistickej závislosti medzi dvoma číselnými premennými. Pod pojmom korelačný koeficient sa najčastejšie myslí Pearsonov korelačný koeficient (Pearson's product moment) z roku 1896, ktorý je mierou lineárnej závislosti dvoch premenných. Pearsonov korelačný koeficient sa vypočíta:
Čitateľ sa nazýva kovariancia a vyjadruje ako sa súčasne menia hodnoty dvoch premenných. Kladná hodnota znamená, že sa menia spoločne jedným smerom, záporná hodnota znamená že sa menia opačným smerom a nula, že sa menia nezávisle. Vydelením kovariancie štandardnými odchýlkami sa vypočíta Pearsonov korelačný koeficient. Hodnota všetkých korelačných koeficientov sa nachádza v intervale od −1 do 1. Pričom −1 znamená dokonalú negatívnu závislosť, 1 znamená dokonalú pozitívnu závislosť a 0 nezávislosť X a Y. V prípade Pearsonovho korelačného koeficientu hodnota −1 znamená, že všetky body v X-Y grafe ležia na klesajúcej priamke, hodnota 1, že ležia na stúpajúcej priamke a hodnota 0, že sú rozptýlené.
Interpretácia korelačného koeficientu závisí od kontextu. Hodnota 0,8 pri overení fyzikálneho zákona použitím presných meracích prístrojov je veľmi nízka, v sociálnych vedách je však veľmi vysoká. Cohen (1988) vytvoril jednoduchú pomôcku pre interpretáciu korelačných koeficientov v psychologickom výskume: Korelácia (v absolútnej hodnote) pod 0,1 je triviálna, 0,1–0,3 malá, 0,3–0,5 stredná a nad 0,5 veľká. Počítať korelačný koeficient a zaoberať sa jeho interpretáciu treba však vždy až po prezretí dát v X-Y grafe.
Hodnota r2 (R-squared) sa nazýva koeficient determinácie a vyjadruje podiel spoločnej variability medzi dvoma premennými.
Pearsonov korelačný koeficient je silne ovplyvniteľný extrémnymi hodnotami (outliers) a to v oboch smeroch. Jediný extrémista vo veľkom súbore môže významne znížiť silnú závislosť ale aj vyrobiť silnú závislosť tam, kde žiadna nie je. Touto citlivosťou na extrémne hodnoty netrpia poradové korelačné koeficienty. Najčastejšie používaným poradovým korelačným koeficientom je Spearmanov koeficient. Spearmanov korelačný koeficient možno vypočítať zo vzorca na výpočet Pearsonovho koeficientu, pričom namiesto originálnych hodnôt sa použijú ich poradové čísla. Spearmanov korelačný koeficient je preto veľmi ťažko interpretovateľný.
Kendallov koeficient (1948) na rozdiel od Spearmanovho vyjadruje silu závislosti medzi dvoma poradovými premennými.
Pre každú vzorku pozostávajúcu z n-pozorovaní dvojice premenných (X,Y) existuje n(n−1)/2 možných porovnaní bodov (Xi, Yi) a (Xj, Yj), pričom i, j = 1, ..., n a i ≠ j.
Ak platí Xi>Xj a Yi>Yj alebo Xi<Xj a Yi<Yj, potom sa pár nazýva súhlasný (concordant).
Ak platí Xi>Xj a Yi<Yj alebo Xi<Xj a Yi>Yj, potom sa pár nazýva nesúhlasný (discordant).
Ak platí Xi=Xj a/alebo Yi=Yj, potom sa pár nazýva nerozhodný (tie).
Nech nc je počet súhlasných párov a nd je počet nesúhlasných párov, potom sa Kendallovo tau vypočíta:
Kendallovo tau vyjadruje rozdiel medzi pravdepodobnosťou, že hodnoty dvoch premenných sú v rovnakom poradí oproti pravdepodobnosti, že hodnoty nie sú v rovnakom poradí. V prípade väčšieho výskytu nerozhodných párov sa použije tau-b. V prípade absencie nerozhodných párov sa tau-b rovné tau. Ak jedna premenná nadobúda odlišný počet unikátnych hodnôt ako druhá (kontingenčná tabuľka m×n), treba uprednostniť tau-c, ktoré sa tiež nazýva Stuartovo tau-c alebo Kendall-Stuartovo tau-c:
Kde k je menšie z počtu m a n.
Goodman-Kruskalov gama koeficient (1954) predstavuje mieru asociácie, ktorá sa má uprednostniť v prípade vysokého výskytu nerozhodných párov. Gama koeficient sa vypočíta:
Ak je gama=0,88 možno tvrdiť, že poznanie hodnoty jednej premennej zníži chybovosť pri predpovedaní poradia (nie hodnoty) druhej premennej o 88 %.
Somerovo d (1962) na rozdiel od predchádzajúcich symetrických koeficientov (korelácie X-Y a Y-X sú vždy identické) rozlišuje závislú a nezávislú premennú. Somerovo d predstavuje asymetrické rozšírenie gama koeficientu, ktorý sa líši iba v zahrnutí počtu párov, ktoré nie sú nerozhodné pre nezávislú premennú.