Analýza závislých intervalových premenných Y na nezávislých premenných X

MANOVA, MANCOVA

Rozšírením analýzy rozptylu ANOVA, ktorá skúma vzťah medzi závislou intervalovou premennou Y a jednou alebo viacerými nezávislými nominálnymi premennými X (faktormi), je viacrozmerná (multivariačná) analýza rozptylu – MANOVA (Multivariate ANalysis Of VAriance). ANOVA porovnáva priemery závislej premennej v skupinách podľa úrovne jednotlivých faktorov a overuje či zistené rozdiely môžu byť iba náhodné (medzi premennou a faktorom nie je vzťah) alebo sú štatisticky významné (medzi premennou a faktorom je vzťah). MANOVA porovnáva vektory priemerov (Y1, Y2, ..., Yn) v skupinách podľa úrovne jednotlivých faktorov. Ak sa porovnávajú iba dve skupiny (jediný faktor X má iba dve úrovne) sú výsledky rovnaké ako pri dvojvzorkovom Hotellingovom T2 teste. Dvojvzorkový Hotellingov T2 test predstavuje rozšírenie Studentovho dvojvzorkového t-testu na dve alebo viac premenných. Hotellingov T2 test porovnáva dva vektory priemerov. MANOVA na rozdiel od ANOVA je nie obmedzená na jedinú testovaciu štatistiku, vybrať si možno až zo štyroch. Wilksova Lambda (1943), Lawley-Hotellingova stopa (1947), Pillaiova stopa (1965) a Royov najväčší koreň (1967) však väčšinou vedú k rovnakému záveru. Pillaiova štatistika má často menšiu silu ale aj väčšiu robustnosť voči porušeniu podmienok. Podobne ako ANOVA (pomocou F-štatistiky) porovnáva vysvetlenú a nevysvetlenú variabilitu premennej, MANOVA porovnáva variančno-kovariančné matice. Kovariancia je zahrnutá preto, lebo premenné sú korelované, čo musí byť výpočte významnosti testu zohľadnené. Každá premenná pridaná k pôvodnej premennej obsahuje novú informáciu ale aj prebytočnú, ktorá je vyjadrená v kovariancii.

MANOVA (tak ako ANOVA) umožňuje popri samotných faktoroch testovať aj interakcie medzi faktormi a realizovať kontrastnú analýzu, pomocou ktorej môžeme naviac vybrať, ktoré závislé premenné do plánovaného porovnania zahrnieme. MANOVA rovnako odlišuje fixné a náhodné faktory aj medziskupinové a vnútroskupinové faktory.

Podobne ako sa ANOVA pridaním intervalového faktora rozšíri na ANCOVA, možno aj MANOVA rozšíriť na MANCOVA (Multivariate ANalysis of COVAriance). MANOVA a MANCOVA sa používajú tam, kde má skúmaná vlastnosť viacrozmerný charakter – napr. v psychológii a sociológii. Napr. spoločenský úspech jednotlivca pozostáva z viacerých rozmerov úspechu (premenných) ako napr. profesionálny úspech, podnikateľský úspech, úspech vo vedení domácnosti a pod.. Ak by sme jednotlivé premenné merali na stupnici od 0 do 100 a vzápätí by sme skóre jednotlivcov sčítali, pomiešali by sme jablká s hruškami. V takýchto prípadoch, keď nemožno závislú premennú dostať jednoduchým sčítaním iných premenných a následne použiť ANOVA, je nutné použiť MANOVA. Niekedy sa v situáciách, v ktorých sa má použiť MANOVA, jednoducho viackrát použije ANOVA. Tento postup je nesprávny, pretože P-hodnoty ANOVA sú pri takomto postupe podhodnotené. Správne je použiť MANOVA a až keď je faktor významný, potom použiť ANOVA na zistenie, ktoré z premenných Y spôsobujú významnosť. Takýto postup od MANOVA k ANOVA "chráni" P-hodnoty ANOVA. Aj tento prístup chránených P-hodnôt sa však stal predmetom kritiky. V prípade, keď MANOVA obsahuje iba jeden faktor X, sa majú na identifikáciu premenných, ktoré spôsobujú významnosť využiť štandardizované kanonické koeficienty, ktoré sa určia pomocou diskriminačnej analýzy.

Predpoklady

  1. Normálne rozdelenie Y v jednotlivých bunkách
    Bunka predstavuje kombináciu úrovní faktorov (ak je faktor iba jeden, bunky sú skupiny podľa úrovne faktora). Šikmosť nemá veľký vplyv, neprekonateľné problémy môžu spôsobovať extrémne prípady (outliers). Preto je vhodné uskutočniť testy normality pre všetky premenné Y izolovane v jednotlivých bunkách.
  2. Homogenita variančno-kovariančných matíc
    Variančno-kovariančné matice medzi premennými Y majú byť približne rovnaké vo všetkých bunkách. Ak je rovnaký počet pozorovaní v každej bunke je správnosť výsledkov testov garantovaná. Ak sú početnosti buniek rôzne, treba na overenie podmienky použiť Boxov M test. Ak je P-hodnota M-štatistiky menšia ako 0,001, môžu byť výsledky MANOVA testov skreslené. V takomto prípade treba použiť iba Pillaiovu štatistiku.
  3. Nezávislosť premenných Y
    Porušenie tejto podmienky sa nazýva multikolinearita. Znamená to, že jedna premenná Y je takmer váženým priemerom ostatných premenných Y. Často sa objavuje v prípade malých vzoriek.
  4. Pozorovania sú nezávislé
    Znamená to, že v rôznych bunkách sú rôzne štatistické jednotky.

Viacnásobná regresia, ANOVA, ANCOVA a MANOVA sú špeciálnymi prípadmi všeobecného lineárneho modelu (General linear model – GLM). Všeobecný linárny model je zovšeobecnením lineárneho regresného modelu, pričom prediktory X možu byť spojité (intervalové) a/alebo diskrétne (nominálne) a vysvetľovaných intervalových premenných Y môže byť viac.