Korešpondenčná analýza

Kontingenčná tabuľka predstavuje najjednoduchšiu a najpoužívanejšiu formu analýzy vzťahov medzi kategorickými premennými. V prípade veľkých tabuliek (s vyšším počtom riadkov a/alebo stĺpcov) sa vizuálna interpretácia tabuľky (riadkových alebo stĺpcových profilov – percent) stáva nejasnou.

Alternatívnym spôsobom skúmania vzťahu medzi riadkami a stĺpcami kontingenčnej tabuľky je grafické zobrazenie riadkových a stĺpcových profilov. Napr. (pre ukážku jednoduchú) kontingenčnú tabuľku 4 (produkty) × 3 (regióny) možno znázorniť v priestore, ktorého tri osi predstavujú tri regióny. Jednotlivé produkty sú znázornené v tomto priestore ako body, ktorých súradnice zodpovedajú riadkovým profilom kontingenčnej tabuľky (percentuálnemu zastúpeniu v troch regiónoch).

Obr. 1 3-D zobrazenie riadkových profilov

Interpretácia pozícií jednotlivých produktov v 3D priestore je dosť obtiažna. Pretože súčet riadkových profilov je 100 %, tieto 4 body ležia v jednej rovine, ktorá je ohraničená trojuholníkom PQR na obrázku 1. Preto je možné a pohodlnejšie zobraziť tento graf v 2-D priestore. Táto jednoduchšia ilustrácia je zobrazená na obr. 2, pričom priemerný produktový profil sa použil ako nulovú bod pre obe osi.

Obr. 2 2-D zobrazenie riadkových profilov

Blízkosť produktu A k vrcholu regiónu 3 na obrázku 2 znamená, že značka A je silne asociovaná s regiónom 3. Blízkosť produktov C a D znamená podobnosť ich regionálnych profilov.

V našom príklade sme kontingenčnú tabuľku s troma stĺpcami na jej dokonalú reprezentáciu potrebovali dve dimenzie. Všeobecne platí, že na ak máme n stĺpcov (riadkov), potom dokonalú reprezentáciu možno dosiahnuť pomocou n−1 dimenzií. Dokonalá grafická prezentácia je možná pri použití maximálne 4 riadkov/stĺpcov a troch dimenziách. Prakticky je použiteľná pre maximálne 3 riadky/stĺpce ako bolo uvedené v príklade.

Ideou korešpondenčnej analýzy (Correspondence Analysis – CA) je zobrazenie kontingenčnej tabuľky v najčastejšie dvojrozmernom priestore pri malej strate informácií. Napríklad na dokonalé grafické znázornenie kontingenčnej tabuľky 20×16, treba 15-rozmerný priestor. Je možné, že na znázornenie 75 % informácií v nej obsiahnutých stačia dva rozmery. Toto znamená obrovský zisk jednoduchosti (2 oproti 15) pri akceptovateľnej strate presnosti (75 % oproti 100 %).

Maticová algebra stojaca v pozadí CA (vlastné čísla, vlastné vektory, dekompozícia singulárnej hodnoty) je dosť obtiažna a aj interpretácia výsledkov (korešpondenčnej mapy) vyžaduje určité skúsenosti. Výsledok CA – korešpondenčná mapa, ktorá predstavuje projekciu analyzovanej kontingenčnej tabuľky do roviny umožňuje zistiť "korešpondenciu" medzi určitými bodmi (hodnotami premenných), na ktorú sa potom možno zamerať v pôvodnej (veľkej) tabuľke.

Korešpondenčná analýza má veľkú popularitu vo Francúzsku a Japonsku. Technika sa objavila v 30. rokoch 20. storočia nezávisle u viacerých autorov a má mnoho rôznych mien. CA je príbuzná metóda analýze hlavných komponentov.

Viacnásobná korešpondenčná analýza (Multiple Correspondence Analysis – MCA) predstavuje rozšírenie jednoduchej korešpondenčnej analýzy na viac ako dve premenné. MCA sa realizuje na matici, ktorej riadky predstavujú pozorovania a stĺpce kategórie premenných. V skutočnosti sa analyzuje Burtova tabuľka, ktorej riadky aj stĺpce predstavujú hodnoty premenných a políčka početnosti pozorovaní. Interpretácia výsledkov MCA je prakticky rovnaká ako CA.